Question

正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B．

(1)試判斷直線(xiàn)AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求二面角E－DF－C的余弦值；

(3)在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點(diǎn)，得EF∥AB，

　　又AB平面DEF，EF平面DEF．

　　∴AB∥平面DEF．

　　(2)∵AD⊥CD，BD⊥CD

　　∴∠ADB是二面角A－CD－B的平面角

　　∴AD⊥BD；∴AD⊥平面BCD

　　取CD的中點(diǎn)M，這時(shí)EM∥AD；∴EM⊥平面BCD

　　過(guò)M作MN⊥DF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，則EN⊥DF

　　∴∠MNE是二面角E－DF－C的平面角

　　在Rt△EMN中，EM＝1，MN＝

　　∴tan∠MNE＝，cos∠MNE＝

　　(3)在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE

　　證明如下：在線(xiàn)段BC上取點(diǎn)P．使，過(guò)P作PQ⊥CD與點(diǎn)Q，

　　∴PQ⊥平面ACD；∵在等邊△ADE中，∠DAQ＝30°

　　∴AQ⊥DE∴AP⊥DE