Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-

1

3

ax³（a＞0），函數(shù)g（x）=f（x）+e^x（x-1），函數(shù)g（x）的導函數(shù)為g′（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若a=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（i）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）試判斷x＞0時，不等式g′（x）≥1+lnx是否恒成立，若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導并令令f′（x）=x-ax²=-ax（x-

1

a

）=0，結(jié)合導數(shù)的正負判斷極值；
（2）g′（x）=x（e^x-ex+1），
（i）記h（x）=e^x-ex+1，由導數(shù)可知，h（x）≥h（1）=1＞0，則g′（x）=x（e^x-ex+1）的正負只與x相關(guān)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（ii）化g'（x）=x（e^x-ex+1）≥1+lnx為e^x-ex+1≥

1+lnx

x

，令d（x）=1+lnx-x（x＞0），從而求出

1+lnx

x

的取值范圍，從而證明．

解答： 解：（1）令f′（x）=x-ax²=-ax（x-

1

a

）=0，
則x=0或x=

1

a

，又a＞0，
∴當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，
當x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＞0，
當x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0；
∴f（x）的極小值為f（0）=0，
f（x）的極大值為f（

1

a

）=

1

6a2

．
（2）∵a=e，
∴g（x）=

1

2

x²-

1

3

ex³+e^x（x-1），
g′（x）=x（e^x-ex+1）．
（i）記h（x）=e^x-ex+1，則h′（x）=e^x-e，
當x∈（-∞，1）時，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)；
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
則在（0，+∞）上，g'（x）＞0，在（-∞，0）時，g′（x）＜0，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（-∞，0）．
（ii）x＞0時，
g'（x）=x（e^x-ex+1）≥1+lnx可化為
e^x-ex+1≥

1+lnx

x

，
由（i）知，e^x-ex+1≥1，
記d（x）=1+lnx-x（x＞0），
則d'（x）=

1-x

x

，
在區(qū)間（0，1）上，d'（x）＞0，d（x）是增函數(shù)，
在區(qū)間（1，+∞）上，d'（x）＜0，d（x）是減函數(shù)，
∴d（x）≤d（1）=0，
即1+lnx-x≤0，
則

1+lnx

x

≤1．
即g′（x）≥1+lnx恒成立．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題．