12．已知集合A=$\left\{{x|1＜{2^x}≤16}\right\}，B=\left\{{y|y=\sqrt{x}，x∈A}\right\}$．
（1）求A∩B；
（2）若f（x）=log2x-$\frac{1}{x}$，x∈A∩B求函數(shù)f（x）的最大值．

分析 （1）運用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡集合A，由冪函數(shù)單調(diào)性求得B，再由交集定義可得；
（2）求得f（x）的導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到f（2）為最大值．

解答 解：（1）∵1＜2x≤16，∴20＜2x≤24，即0＜x≤4，
∴A={x|0＜x≤4}，
∵x∈（0，4]，∴$y=\sqrt{x}∈（{0，2}]，B=\left\{{x|0＜x≤2}\right\}$．
∴A∩B=（0，2]；
（2）f（x）=log2x-$\frac{1}{x}$的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{xln2}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
f′（x）在（0，2]大于0，可得f（x）在（0，2]遞增，
f（2）取得最大值log22-$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查集合的交集和函數(shù)的最值的求法，注意運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．已知f（x）的定義域為[-1，1]，則函數(shù)g（x）=ln（x+1）+f（2x）的定義域為$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$．

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3．已知函數(shù)f（x）=ax-1（a＞0，且a≠1），當x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，且函數(shù)g（x）=f（x+1）-4的圖象不過第二象限，則a的取值范圍是（　�。�
A．（1，+∞）B．$（\frac{1}{2}，1）$C．（1，3]D．（1，5]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

20．設函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+m$的極大值為1，則函數(shù)f（x）的極小值為（　�。�
A．$-\frac{1}{3}$B．-1C．$\frac{1}{3}$D．1

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7．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若方程f（x+1）=|x2+2x-3|的實根分別為x1，x2，…，xn，則x1+x2+…+xn=（　�。�
A．nB．-nC．-2nD．-3n

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

17．在平面直角坐標系中，若直線y=x與直線$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.，（t$是參數(shù)，0≤θ＜π）垂直，則θ=（　�。�
A．$\frac{π}{6}$B．$\frac{π}{4}$C．$\frac{2π}{3}$D．$\frac{3π}{4}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知f（x）=2|x+1|-|x-1|．
（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）解不等式|f（x）|＞1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x-1）（x-3）＜0}，則A∩B為（　　）
A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．如果函數(shù)f（x）是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當0＜x＜3時，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（　　）
A．（-3，-$\frac{π}{2}$）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3）B．（-$\frac{π}{2}$，-1）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3）C．（-3，-1）∪（0，1）∪（1，3）D．（-3，-$\frac{π}{2}$）∪（0，1）∪（1，3）

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