Question

（09年海淀區(qū)期中文）（14分）

       設(shè)是定義在D上的函數(shù)，若對(duì)D中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，恒有，則稱為定義在D上的T函數(shù)。

   （I）試判斷函數(shù)是否為其定義域上的T函數(shù)， 并說(shuō)明理由；

   （II）若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，試證明不是R上的T函數(shù)；

   （III）若對(duì)任何實(shí)數(shù)以及D中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)恒有

        ，則稱為定義在D上的C函數(shù)。已知是R上的C函數(shù)，m是給定在正整數(shù)，設(shè)，且記。對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)，試求的最大值。

Answer 1

解析：（Ⅰ） 是T函數(shù)，　　　　……………………………２分

證明如下：

對(duì)任意實(shí)數(shù)（）

有

.

即.

∴是T函數(shù).　……………………………４分

   （Ⅱ）假設(shè)是R上的T函數(shù)，取，.

則有.

是奇函數(shù)，

∴，.

∴. (＃)

同理,取，可證.

與(＃)式矛盾.

∴不是R上的T函數(shù)．　……………………………９分

   （Ⅲ）對(duì)任意

是R上的C函數(shù)，

    那么

    可證是C函數(shù)，且使得都成立，

    此時(shí)

    綜上所述，的最大值為