Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時都取得極值．若對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜2c恒成立，則c的取值范圍是（　�。�

• A．c＞-

  3

  2

• B．c≥-

  3

  2

• C．c＞2
• D．c≥2

Answer 1

分析：求出f′（x），因為函數(shù)在x=-

2

3

與x=1時都取得極值，所以得到f′（-

2

3

）=0，且f′（1）=0聯(lián)立解得a與b的值，然后把a(bǔ)、b的值代入求得f（x）及f′（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由于x∈[-1，2]恒成立，只需求出最大值，然后令最大值＜2c，即可求出c的范圍．

解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由

f′(- 2 3 )=3× 4 9 - 4a 3 +b=0 f′(1)=3+2a+b=0

，解得，

a=- 1 2 b=-2

．
代回原函數(shù)得，f（x）=x3-

1

2

x2-2x+c，f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-1，-

2

3

）和（1，2]，遞減區(qū)間是（-

2

3

，1）．
當(dāng)x=-

2

3

時，f（x）=

22

27

+c為極大值，而f（2）=2+c，f（-1）=

1

2

+c，所以f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜2c，對x∈[-1，2]恒成立，須且只需2+c＜2c．
解得c＞2．
故選C．

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及理解函數(shù)恒成立時所取到的條件，屬中檔題．