Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+mx-1 0 -x2+2x+1

-2＜x＜0 x=0 0＜x＜2

是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義即可得出；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合圖象即可得出；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）當0＜x＜2時，-2＜-x＜0．
∵f（x）是奇函數(shù)．
∴f（-x）=-f（x），
∴（-x）²-mx-1=-（-x²+2x+1），
∴m=2．
（2）由（1）得f（x）=

x2+2x-1，-2＜x＜0 0，x=0 -x2+2x+1，0＜x＜2

由圖象得

a-2＞-1 a-2≤1

解得1＜a≤3．
（3）當-2＜x＜0時，f（x）=（x+1）²-2∈[-2，-1），
當x=0時，f（x）=0．
當0＜x＜2時，f（x）=-（x-1）²+2∈（1，2]．
∴f（x）的值域為[-2，-1）∪{0}∪（1，2]．

點評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．