Question

13．某高校進行自主招生測試，報考學生有500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學生的成績是否與性別有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們測試的分數(shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學生的分數(shù)分成4組：[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖可以估計女生測試成績的平均值為103.5，請你估計男生測試成績的平均值，由此推斷男、女生測試成績的平均水平的高低；
（Ⅱ）若規(guī)定分數(shù)不小于110分的學生為“優(yōu)秀生”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“優(yōu)秀生與性別有關”？

	優(yōu)秀生	非優(yōu)秀生	合計
男生
女生
合計

參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作代表，計算男生的成績平均數(shù)，即可得出結論；
（Ⅱ）根據(jù)所給的條件寫出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表做出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到結論．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可以估計男生測試的成績的平均值為$\overrightarrow{x甲}$=80×0.015×20+100×0.0225×20+120×0.01×20+140×0.025×20=100分，
因為103.5＞100，
所以由此可以判斷，女生測試成績的平均水平略高于男生
（Ⅱ）由頻數(shù)分布表可知：在抽取的100學生中，男生有100×$\frac{300}{500}$=60（人），測試成績優(yōu)秀的男生有60×（0.0100+0.0025）×20=15人，
女生有100×$\frac{200}{500}$=40（人），測試成績優(yōu)秀的女生有40×（0.01625+0.00250）×20=15人，
據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

	優(yōu)秀生	非優(yōu)秀生	合計
男生	15	45	60
女生	15	25	40
合計	30	70	100

可得k²=$\frac{100×（15×25-45×15）^{2}}{60×40×30×70}$=$\frac{25}{14}$≈1.79
因為1.79＜2.706，所以沒有90%的把握認為“數(shù)學成績與性別有關”

點評 本題主要考查獨立性檢驗的應用，解題的關鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應的概率的意義，屬于基礎題．