Question

16．長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁滿足底面ABCD是邊長(zhǎng)為10的正方形，AA₁=20，若在長(zhǎng)方體內(nèi)部（包括各面）存在一點(diǎn)P，使得|PA|+|PB|=26，則四棱錐P-ABCD的體積的最大值為400．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由題意可得，滿足條件的P點(diǎn)在平面ABB₁A₁內(nèi)，利用橢圓定義求出P的軌跡，得到到AB距離最大的P點(diǎn)到AB的距離為12，即四棱錐P-ABCD的高為12，然后代入棱錐體積公式得答案．

解答 解：如圖由題意可知，當(dāng)P點(diǎn)位于平面ABB₁A₁上時(shí)，能使四棱錐P-ABCD的體積最大，
在平面ABB₁A₁內(nèi)，以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸建系，
∵AB=10，且|PA|+|PB|=26＞10，
∴P在以A，B為焦點(diǎn)的橢圓上，
且a=13，c=5，∴b²=a²-c²=13²-5²=12²，
則平面ABB₁A₁內(nèi)，滿足|PA|+|PB|=26，且到AB距離最大的P點(diǎn)到AB的距離為12，
∴四棱錐P-ABCD的體積的最大值為$\frac{1}{3}×10×10×12=400$．
故答案為：400．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的體積，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，利用橢圓定義求出滿足條件的P點(diǎn)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．