Question

13．已知函數(shù)f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞1）是定義在R 上的奇函數(shù)．
（1）求k 的值并判斷函數(shù) f （x）單調(diào)性；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0，可得k=2；求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）由f（1）=$\frac{3}{2}$，可得a=2，再令t=f（x）=2^x-2^-x，g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，討論對稱軸t=m，和區(qū)間[$\frac{3}{2}$，+∞）的關(guān)系，求得最小值，解方程即可得到m的值．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴a⁰-（k-1）•a⁰=0，即有k-1=1，
∴k=2；
∴f（x）=a^x-a^-x（a＞1），
又f'（x）=a^xlna+a^-xlna=（a^x+a^-x）lna＞0
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，
即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，
令t=f（x）=2^x-2^-x，
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，
當(dāng)m≥$\frac{3}{2}$時，當(dāng)t=m時，g（x）_min=2-m²=-2，∴m=2；
當(dāng)m＜$\frac{3}{2}$時，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，g（x）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，舍去．
綜上可得，m=2．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的問題，考查單調(diào)性的判斷，注意運用導(dǎo)數(shù)，考查換元法的運用，以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．