Question

某公司決定采用增加廣告投入和技術(shù)改造投入兩項(xiàng)措施來獲得更大的收益．通過對(duì)市場(chǎng)的預(yù)測(cè)，當(dāng)對(duì)兩項(xiàng)投入都不大于3（百萬元）時(shí)，每投入x（百萬元）廣告費(fèi)，增加的銷售額可近似的用函數(shù)y₁=-2x²+14x（百萬元）來計(jì)算；每投入x（百萬元）技術(shù)改造費(fèi)用，增加的銷售額可近似的用函數(shù)y₂=-

1

3

x³+2x²+5x（百萬元）來計(jì)算．現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3（百萬元），分別用于廣告投入和技術(shù)改造投入，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種資金分配方案，使得該公司的銷售額最大． （參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：先計(jì)算投入帶來的銷售額增加值，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可確定函數(shù)的最值．

解答：解：設(shè)3百萬元中技術(shù)改造投入為x（百萬元），廣告費(fèi)投入為3-x（百萬元），則廣告收入帶來的銷售額增加值為-2（3-x）²+14（3-x）（百萬元），技術(shù)改造投入帶來的銷售額增加值為-

1

3

x³+2x²+5x（百萬元），
所以，投入帶來的銷售額增加值F（x）=-2（3-x）²+14（3-x）-

1

3

x³+2x²+5x．
整理上式得F（x）=-

1

3

x³+3x+24，
因?yàn)镕′（x）=-x²+3，令F′（x）=0，解得x=

3

或x=-

3

（舍去），
當(dāng)x∈[0，

3

），F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（

3

，3]時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
所以，x=

3

≈1.73時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值．
所以，當(dāng)該公司用于廣告投入1.27（百萬元），用于技術(shù)改造投入1.73（百萬元）時(shí)，公司將有最大的銷售額．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．