Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，左、右焦點分別為F₁、F₂，過右焦點F₂的直線與橢圓交于P、Q兩點，且△PQF₁的周長為4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F₁的直線與橢圓C相交于A，B兩點．且|AB|=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求△AF₂B的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，△PQF₁的周長為4a=4$\sqrt{3}$，求出a，b，c，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設直線AB的方程為y=k（x+$\sqrt{2}$），代入橢圓方程，利用|AB|=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，結合韋達定理，求出k的值，再求出點F₂到直線AB的距離，|AB|，即可求△AF₂B的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，…（1分）
∵過右焦點F₂的直線與橢圓交于P、Q兩點，且△PQF₁的周長為4$\sqrt{3}$．
∴4a=4$\sqrt{3}$．
故a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$…（3分）
故b=1．…（4分）
故橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）若直線AB的方程為x=-$\sqrt{2}$，則|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，不符合題意．
設直線AB的方程為y=k（x+$\sqrt{2}$），代入橢圓方程消去y得（1+3k²）x²+6$\sqrt{2}$k²x+6k²-3=0，…（6分）
顯然△＞0成立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{6\sqrt{2}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$…（7分）
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{12{k}^{2}+12}}{1+3{k}^{2}}$．…（9分）
由已知$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{12{k}^{2}+12}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（10分）
當k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$時，直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（x+$\sqrt{2}$），即x-$\sqrt{5}$y+$\sqrt{2}$=0，
點F₂到直線AB的距離d=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（11分）
所以△AF₂B的面積=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{3}{2}$．…（12分）
同理，當k=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$時，△AF₂B的面積也等于$\frac{3}{2}$．
綜上，△AF₂B的面積等于$\frac{3}{2}$．…（13分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查三角形面積的計算，屬中檔題．