已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，左焦點為F，右頂點為C，過F作直線l與橢圓交于A，B兩點，求△ABC面積最大值．
由題意知：|FC|=a+c=2+1=3，F(xiàn)（-1，0），
設(shè)AB的直線方程x=my-1，不妨設(shè)直線AB與橢圓的交點A（x1，y1），B（x2，y2），
x=my-1
x2
4
+
y2
3
=1
⇒（3m2+4）y2-6my-9=0，則y1+y2=
6m
3m2+4
，y1y2=-
9
3m2+4
，
S△ABC=
1
2
×|FC|×|y1-y2|=
1
2
×3×
(y1+y2)2-4y1y2
=18×
m2+1
(3m2+4)2
=18×
1
9(m2+1)+6+
1
m2+1
，
設(shè)t=m2+1≥1，函數(shù)g（t）=9t+
1
t
，g′(t)=9-
1
t2
，∵t≥1，g′（t）＞0
∴函數(shù)在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴m2+1=1時，S△ABC最大，且最大值為
9
2

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個端點和兩個焦點的連線構(gòu)成一個正三角形，且焦點到橢圓上的點的最短距離為
3
，則橢圓的方程為（　　）
A．
x2
12
+
y2
9
=1
B．
x2
9
+
y2
12
=1或
x2
12
+
y2
3
=1
C．
x2
12
+
y2
3
=1
D．
x2
12
+
y2
9
=1或
x2
9
+
y2
12
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直線l：y=kx+2（k為常數(shù)）過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點B和左焦點F，且被圓x2+y2=4截得的弦長為L，若L≥
4
5
5
，則橢圓離心率e的取值范圍是（　　）
A．(0，
5
5
]		B．(0，
2
5
5
]		C．(0，
3
5
5
]		D．(0，
4
5
5
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與過A（2，0），B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2

（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF2的中點，求tan∠ATM．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，A、B、C分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的頂點和焦點，若∠ABC=90°，則該橢圓的離心率為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)點P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與圓x2+y2=3b2的一個交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且|PF1|=3|PF2|，則橢圓的離心率為（　　）
A．
10
4
B．
3
5
C．
7
4
D．
14
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦點分別為F1、F2，過點F1的直線交橢圓于M、N兩點，則△MNF2的周長為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓的一個焦點與短軸的兩個頂點可構(gòu)成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為（　�。�
A．
1
4
B．
1
2
C．
2
2
D．
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知c是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的半焦距，則
b+c
a
的取值范圍是（　�。�
A．（1，+∞）B．(
2
，+∞)		C．（1，
2
）		D．（1，
2
]

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同步練習(xí)冊答案