Question

已知直線C₁：

x= 4 5 t y= 3 5 t

（t為參數(shù)），曲線C₂：ρ+

1

ρ

=2

2

sin（θ+

π

4

）．
（1）求直線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）求直線C₁被曲線C₂所截的弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,直線與圓的位置關(guān)系,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把直線的參數(shù)方程兩式作比消掉t即可得到直線的直角坐標(biāo)方程；展開兩角和的正弦，兩邊同時(shí)乘以ρ后代入ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（2）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理得答案．

解答： 解：（1）由

x= 4 5 t y= 3 5 t

，得3x-4y=0．
由ρ+

1

ρ

=2

2

sin（θ+

π

4

），
得ρ+

1

ρ

=2

2

(sinθcos

π

4

+cosθsin

π

4

)=2sinθ+2cosθ．
即ρ²+1=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴x²-2x+y²-2y+1=0；
（2）由x²-2x+y²-2y+1=0，
得（x-1）²+（y-1）²=1．
∴曲線C₂是以（1，1）為圓心，以1為半徑的圓．
圓心到直線3x-4y=0的距離為

|3×1-4×1|

32+(-4)2

=

1

5

．
∴直線C₁被曲線C₂所截的弦長(zhǎng)為2

12-( 1 5 )2

=

4 6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程化直角坐標(biāo)方程，考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，訓(xùn)練了直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．