Question

已知函數(shù)a、c∈R滿足條件：①f（1）=0；②對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0．
（Ⅰ）求a、c的值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）=f（x）-mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，．
由f（1）=0得：，即，∴．
顯然x＞1時(shí)，f（x）＜0，這與條件②相矛盾，不合題意．
∴a≠0，函數(shù)是二次函數(shù)． …（2分）
由于對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

即（*）…（4分）
由f（1）=0得 ，即，代入（*）得 ．
整理得 ，即．
而，∴．
將代入（*）得，，
∴． …（7分）
另解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，．
由f（1）=0得 ，即，
∴．
顯然x＞1時(shí)，f（x）＜0，這與條件②相矛盾，
∴a≠0，因而函數(shù)是二次函數(shù)． …（2分）
由于對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

即 …（4分）
由此可知 a＞0，c＞0，
∴．
由f（1）=0，得 ，代入上式得 ．
但前面已推得 ，
∴．
由 解得 ． …（7分）
（Ⅱ）∵，∴．
∴．
該函數(shù)圖象開口向上，且對(duì)稱軸為x=2m+1． …（8分）
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5．
①當(dāng)m＜-1時(shí)，2m+1＜m，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上是遞增的，
∴g（m）=-5，
即 ，
解得 m=-3或m=．
∵＞-1，∴m=舍去． …（10分）
②當(dāng)-1≤m＜1時(shí)，m≤2m+1＜m+1，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，2m+1]上是遞減的，而在區(qū)間[2m+1，m+2]上是遞增的，
∴g（2m+1）=-5，
即 ．
解得 m=或m=，均應(yīng)舍去． …（12分）
③當(dāng)m≥1時(shí)，2m+1≥m+2，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上是遞減的，
∴g（m+2）=-5，
即 ．
解得 m=或m=，其中m=應(yīng)舍去．
綜上可得，當(dāng)m=-3或m=時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5．
…（14分）
分析：（Ⅰ）首先函數(shù)是二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0；根據(jù)f（1）=0得 ，即，從而可得 ，進(jìn)而可得，，
另解：首先函數(shù)是二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0；由f（1）=0，得 ，代入上式得 ，根據(jù) ，可得，從而有 ，故可求a、c的值；
（Ⅱ）．該函數(shù)圖象開口向上，且對(duì)稱軸為x=2m+1．假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5．根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，從而可求m的值
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、方程、不等式等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力，本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)的解析式的求解與函數(shù)最值的研究，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，正確分類，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的綜合性．