已知三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，若將此三棱錐沿側(cè)棱展成平面圖形恰好可以形成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.

(Ⅰ)求證：頂點(diǎn)S在底面ABC的射影O是底面△ABC的垂心；

(Ⅱ)求SC與底面ABC所成的角的大小.

解：(Ⅰ)作SO⊥平面ABC,連接AO、BO,

因?yàn)閭?cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直,易證SA⊥平面SBC、SB⊥平面SAC、SC⊥平面SAB. 

所以SA⊥BC,由三垂線定理的逆定理,AO⊥BC,同理可證BO⊥AC.所以O(shè)為高線的交點(diǎn),即為△ABC垂心. 

(Ⅱ)連接CO,則∠SCO為SC與底面ABC所成的角. 

由于三棱錐的展開(kāi)圖成邊長(zhǎng)為a的正方形,則B、C分別為SS′和SS″的中點(diǎn),即SB=SC=,所以SA=a,AB=AC=a,BC=a. 

延長(zhǎng)CO交AB于D,連接SD.因?yàn)镃O⊥AB,根據(jù)三垂線定理,SD⊥AB

在三角形SAB中,∠ASB=90°,SB=,SA=a,AB=a,所以SD=a

所以,tan∠SCO=tan∠SCD==

即SC與底面ABC所成的角的大小為arctan


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．

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