Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0），直線y=x+$\sqrt{6}$與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左右焦點，P為橢圓C上的任意一點，△F₁PF₂的重心為G，內心為I，且IG∥F₁F₂，則橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），則G（$\frac{{x}_{0}}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），由已知條件推導出a=2c，b=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{3}$，由此能求出橢圓方程．

解答 解：設P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），則G（$\frac{{x}_{0}}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$）．
又IG∥F₁F₂，y_I=$\frac{{y}_{0}}{3}$，|F₁F₂|=2c，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₀|=$\frac{1}{2}$（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）•|$\frac{{y}_{0}}{3}$|
∴2c=$\frac{2a+2c}{3}$，故a=2c．
又直線y=x+$\sqrt{6}$與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，
∴b=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{3}$，
∴a=2，c=1．∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓的位置關系，考察學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．