Question

3．已知圓C：x²+y²+4x-28=0內(nèi)一點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)，若MA的垂直平分線交CM于一點(diǎn)P（C為圓心）．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）在點(diǎn)P的軌跡上是否存在點(diǎn)N（2，-1）對稱的兩點(diǎn)？若存在，請求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，畫出圖形，再由橢圓的定義求得橢圓方程；
（2）假設(shè)橢圓上存在關(guān)于點(diǎn)N（2，-1）對稱的兩點(diǎn)G、H，則兩點(diǎn)連線的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），則GH：y=k（x-2）-1，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到G、H兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式列式求得k值，進(jìn)一步求得兩對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖，圓C：x²+y²+4x-28=0化為（x+2）²+y²=32，
圓心C（-2，0），半徑r=$4\sqrt{2}$，點(diǎn)A（2，0），

∵P為MA的垂直平分線上的點(diǎn)，∴|PM|=|PA|，
則|PC|+|PA|=|CM|=r=$4\sqrt{2}$，
由橢圓定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，以$4\sqrt{2}$為長軸長的橢圓，
且c=2，a=$2\sqrt{2}$，∴b²=a²-c²=8-4=4，
則點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）∵$\frac{{2}^{2}}{8}+\frac{（-1）^{2}}{4}=\frac{3}{4}＜1$，∴點(diǎn)N（2，-1）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$的內(nèi)部，
假設(shè)橢圓上存在關(guān)于點(diǎn)N（2，-1）對稱的兩點(diǎn)G、H，則兩點(diǎn)連線的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），
則GH：y=k（x-2）-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）-1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-（8k²+4k）x+8k²+8k-6=0．①
則$\frac{8{k}^{2}+4k}{1+2{k}^{2}}=4$，解得k=1，代入①得：3x²-12x+10=0．
解得${x}_{1}=\frac{6-\sqrt{6}}{3}，{x}_{2}=\frac{6+\sqrt{6}}{3}$．
代入y=x-3，得${y}_{1}=\frac{-3-\sqrt{6}}{3}，{y}_{2}=\frac{-3+\sqrt{6}}{3}$．
∴點(diǎn)P的軌跡上存在關(guān)于點(diǎn)N（2，-1）對稱的兩點(diǎn)，
坐標(biāo)分別為（$\frac{6-\sqrt{6}}{3}，\frac{-3-\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{6+\sqrt{6}}{3}，\frac{-3+\sqrt{6}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．