已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點P（3，1），其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且
F1P
•
F2P
=-6．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M，N是直線x=5上的兩個動點，且F1M⊥F2N，則以MN為直徑的圓C是否過定點？請說明理由．
分析：（1）根據(jù)題意分別寫出
F1P
與
F2P
，所以
F1P
•
F2P
=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，解得c=4，再結合橢圓的定義可得a得數(shù)值，進而得到橢圓E的方程．　　　　
（2）設M，N的坐標分別為（5，m），（5，n），則得到
F1M
，
F2N
，所以
F1M
•
F2N
=9+mn=0，即mn=-9，并且得到圓C的方程為(x-5)2+(y-
m+n
2
)2=(
|m-n|
2
)2，化簡可得（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，令y=0，可得x=8或2，即可得到答案．
解答：解：（1）設點F1，F(xiàn)2的坐標分別為（-c，0），（c，0）（c＞0），
則
F1P
=(3+c，1)，
F2P
=(3-c，1)，
故
F1P
•
F2P
=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，
解得c=4，
所以2a=|PF1|+|PF2|=
(3+4)2+12
+
(3-4)2+12
=6
2
，
所以a=3
2
，b2=a2-c2=18-16=2，
所以橢圓E的方程為
x2
18
+
y2
2
=1．　　　　　
（2）設M，N的坐標分別為（5，m），（5，n），則
F1M
=(9，m)，
F2N
=(1，n)，
因為
F1M
⊥
F2N
，
所以
F1M
•
F2N
=9+mn=0，即mn=-9，
又因為圓C的圓心為(5，
m+n
2
)，半徑為
|m-n|
2
，
所以圓C的方程為(x-5)2+(y-
m+n
2
)2=(
|m-n|
2
)2，
即（x-5）2+y2-（m+n）y+mn=0，即（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，
令y=0，可得x=8或2，
所以圓C必過定點（8，0）和（2，0）．
點評：此題是個中檔題．考查橢圓的定義和標準方程的求法，以及圓與橢圓的綜合等知識，同時考查了學生分析問題與解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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