Question

6．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱．芻甍字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE、CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，AB=4，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，若這個(gè)芻甍的體積為$\frac{40}{3}$，則異面直線AB與CF所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 利用這個(gè)芻甍的體積為$\frac{40}{3}$，求出E到平面ABCD的距離，進(jìn)而求出CF，CD∥AB，∠FCD為異面直線AB與CF所成角，即可求出異面直線AB與CF所成角的余弦值．

解答 解：取CD，AB的中點(diǎn)M，N，連接FM，F(xiàn)N，
則多面體分割為棱柱與棱錐兩個(gè)部分，
設(shè)E到平面ABCD的距離為h，
則$\frac{1}{2}×4×h×2$+$\frac{1}{3}×4×2×h$=$\frac{40}{3}$，
∴h=2，
∵CN=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，∴CF=$\sqrt{5+4}$=3，
∵CD∥AB，
∴∠FCD為異面直線AB與CF所成角，
△FCM中，F(xiàn)M=FC=3，CM=2，
∴cos∠FCD=$\frac{9+4-9}{2×3×2}$=$\frac{1}{3}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查多面體體積的計(jì)算，考查異面直線所成角的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．