已知函數(shù)f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)當x∈[1,4]時,求函數(shù)h(x)=[f(x)+1]•g(x)的值域;
(2)如果對任意的x∈[1,4],不等式f(x2)•f(
x
)>k•g(x)
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)利用配方法化簡函數(shù),根據(jù)函數(shù)的定義域,即確定函數(shù)的值域;
(2)利用換元法化簡函數(shù),再對新變元分類討論,同時結合分離參數(shù)法,利用基本不等式,即可求得結論.
解答:解:(1)h(x)=(4-2log2x)•log2x=-2(log2x-1)2+2…(2分)
因為x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],…(4分)
故函數(shù)h(x)的值域為[0,2]…(6分)
(2)由f(x2)•f(
x
)>k•g(x)
得(3-4log2x)(3-log2x)>k•log2x
令t=log2x,因為x∈[1,4],所以t=log2x∈[0,2]
所以(3-4t)(3-t)>k•t對一切的t∈[0,2]恒成立…(8分)
1°當t=0時,k∈R;…(9分)
2°當t∈(0,2]時,k<
(3-4t)(3-t)
t
恒成立,即k<4t+
9
t
-15
…(11分)
因為4t+
9
t
≥12
,當且僅當4t=
9
t
,即t=
3
2
時取等號…(12分)
所以4t+
9
t
-15
的最小值為-3…(13分)
綜上,k∈(-∞,-3)…(14分)
點評:本題考查函數(shù)的值域,考查恒成立問題,解題的關鍵是分離參數(shù),利用基本不等式求最值.
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