Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$DC=1，點E在線段PB上，且EB=$\frac{1}{2}$PE．試用向量法解決如下問題：
（1）求證：PD∥平面AEC．
（2）求銳二面角A-CE-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取DC的中點F，推導(dǎo)四邊形ABCF為平行四邊形，從而四邊形ABCF為正方形，以$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}$所在的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，由此利用向量法能證明PD∥平面AEC．
（2）求出平面CEP的法向量和平面ACE的法向量，由此能求出銳二面角A-CE-P的余弦值．

解答 證明：（1）取DC的中點F，
因為AB∥DC，AB=$\frac{1}{2}$DC，
所以AB∥FC，AB=FC，
所以四邊形ABCF為平行四邊形．
又AB=BC，∠ABC=90°，
所以四邊形ABCF為正方形．
所以AF⊥AB．
因為PA⊥平面ABCD，AF?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AF
以$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}$所在的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，…（2分）
則P（0，0，1），D（1，-1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），B（0，1，0），…（3分）
因為EB=$\frac{1}{2}$PE，所以$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{BE}$，即（0，-1，1）=3（x_E，y_E-1，z_E），解得E（0，$\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$），…（4分）
設(shè)$\overrightarrow{PD}=λ\overrightarrow{AC}+μ\overrightarrow{AE}$，即（1，-1，-1）=$λ（1，10）+μ（0，\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$，
解得λ=1，μ=-3，所以$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AE}$，
又PD?平面AEC，所以PD∥平面AEC．…（6分）
（2）設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面CEP的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-x-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=-x-y+z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），…（8分）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）為平面ACE的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=a+b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}b+\frac{1}{3}c=0}\end{array}\right.$，
令b=1，得到$\overrightarrow{n}$=（-1，1，-2），…（10分）
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
所以，銳二面角A-CE-P的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．