Question

數(shù)列{2ⁿ-1}的前n項組成集合A_n={1，3，7，…，2ⁿ-1}（n∈N^*），從集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）個數(shù)，其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為T_k（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如：當n=1時，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；當n=2時，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．
（Ⅰ）求S₃，S₄
（Ⅱ）由S₁，S₂，S₃，S₄的值歸納出S_n的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）當n=3時，求得A₃={1，3，7}，T₁、T₂ 、T₃的值，可得 S₃=T₁+T₂+T₃的值，同理S₄=2¹⁰-1；
（Ⅱ）由S₁=1=2¹-1，S₂=7=2³-1，S₃=63=2⁶-1，猜想S_n=2

n(n+1)

2

-1，用數(shù)學歸納法進行證明．

解答： 解：（Ⅰ）當n=3時，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
所以S₃=11+31+21=63．
同理S₄=2¹⁰-1；
（Ⅱ）由S₁=1=2¹-1=1，S₂=7=2³-1，S₃=63=2⁶-1，
猜想 S_n=2

n(n+1)

2

-1，下面證明：
（1）易知n=1時成立．
（2）假設n=k時，S_n=S_k=2

k(k+1)

2

-1，
則n=k+1時，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）]
（其中T_i′，i=1，2，…，k，為n=k時可能的k個數(shù)的乘積的和為T_k），
=（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k =2^k+1（2

k(k+1)

2

）+（2^k+1-1）
=2^k+1•2

k(k+1)

2

=2

(k+1)(k+2)

2

-1，
即n=k時，S_k+1=2

(k+1)(k+2)

2

-1也成立，
綜合（1）（2）知對n∈N^*，S_n=2

n(n+1)

2

-1成立．
所以，S_n=2

n(n+1)

2

-1．

點評：本題主要考查用數(shù)學歸納法證明等式，證明當n=k+1時命題成立，是解題的關鍵，屬于中檔題．