Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，S₅=30，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n=2ⁿ-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=（-1）ⁿ（a_nb_n+lnS_n），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過記等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的求和公式及a₁=2可知公差d=2，進(jìn)而可知a_n=2n；通過T_n=2ⁿ-1與T_n-1=2^n-1-1（n≥2）作差，進(jìn)而可知b_n=2^n-1；
（Ⅱ）通過（I）可知a_nb_n=n•2ⁿ，S_n=n（n+1），進(jìn)而可知c_n=n（-2）ⁿ+（-1）ⁿ[lnn+ln（n+1）]，利用錯位相減法計算可知數(shù)列{（-1）ⁿa_nb_n}的前n項(xiàng)和A_n=-$\frac{2}{9}$-$\frac{3n+1}{9}$•（-2）ⁿ⁺¹；通過分類討論，結(jié)合并項(xiàng)相加法可知數(shù)列{（-1）ⁿlnS_n}的前n項(xiàng)和B_n=（-1）ⁿln（n+1），進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）記等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
依題意，S₅=5a₁+$\frac{5（5-1）}{2}$d=30，
又∵a₁=2，
∴d=$\frac{30-10}{10}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n；
∵T_n=2ⁿ-1，
∴T_n-1=2^n-1-1（n≥2），
兩式相減得：b_n=2^n-1，
又∵b₁=T₁=2¹-1=1滿足上式，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知a_nb_n=n•2ⁿ，S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴c_n=（-1）ⁿ（a_nb_n+lnS_n）=n（-2）ⁿ+（-1）ⁿ[lnn+ln（n+1）]，
記數(shù)列{（-1）ⁿa_nb_n}的前n項(xiàng)和為A_n，數(shù)列{（-1）ⁿlnS_n}的前n項(xiàng)和為B_n，
則A_n=1•（-2）¹+2•（-2）²+3•（-2）³+…+n•（-2）ⁿ，
-2A_n=1•（-2）²+2•（-2）³+…+（n-1）•（-2）ⁿ+n•（-2）ⁿ⁺¹，
錯位相減得：3A_n=（-2）¹+（-2）²+（-2）³+…+（-2）ⁿ-n•（-2）ⁿ⁺¹
=$\frac{（-2）[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-n•（-2）ⁿ⁺¹
=-$\frac{2}{3}$-$\frac{3n+1}{3}$•（-2）ⁿ⁺¹，
∴A_n=-$\frac{2}{9}$-$\frac{3n+1}{9}$•（-2）ⁿ⁺¹；
當(dāng)n為偶數(shù)時，B_n=-（ln1+ln2）+（ln2+ln3）-（ln3+ln4）+…+[lnn+ln（n+1）]
=ln（n+1）-ln1
=ln（n+1），
當(dāng)n為奇數(shù)時，B_n=-（ln1+ln2）+（ln2+ln3）-（ln3+ln4）+…-[lnn+ln（n+1）]
=-ln（n+1）-ln1
=-ln（n+1）；
綜上可知：B_n=（-1）ⁿln（n+1），
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和A_n+B_n=（-1）ⁿln（n+1）-$\frac{2}{9}$-$\frac{3n+1}{9}$•（-2）ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．