Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數(shù)n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn+λn+

λ

2n

}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，則說明理由；
（3）設{b_n}滿足：bn=

2-n

(an+1)(an+1+1)

，Tn為數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：Tn≥

1

6

．

Answer 1

分析：（1）將點的坐標代入直線方程得到數(shù)列的項與和的遞推關系，仿寫一個等式，兩式相減，得到一等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求出數(shù)列的第n項減去數(shù)列的第n-1項，為使此差為常數(shù)，令2-λ=0，求出λ的值．
（3）求出通項b_n，據(jù)通項的特點，利用裂項相消法求出數(shù)列的前n項和T_n，利用其單調性，求出其最小值，得到要證的不等式．

解答：解：（1）∵點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上
∴2a_n+1+S_n-2=0即S_n=2-2a_n+1
∴當n≥2時S_n-1=2-2a_n相減得
a_n=2a_n+1又a1=1，a2=

1

2

∴an=(

1

2

)n-1
（2）假設存在實數(shù)λ符合題意，則(Sn+λn+

λ

2n

)-[Sn+λ(n-1)+

λ

2n-1

]必為與n無關的常數(shù)
要使上式與n無關，則2-λ=0得λ=2
故存在實數(shù)λ=2，使數(shù)列{Sn+λn+

λ

2n

}為等差數(shù)列
（3）∵bn=

2-n

(an+1)(an+1+1)

=

2-n

[( 1 2 )n-1+1][( 1 2 )n+1]

=

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n-1+ 1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

1 2 +1

+

1

( 1 2 )0

+…+

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n-1+ 1

=

1

( 1 2 )n+1

-

1

2

易得Tn=

1

( 1 2 )n+1

-

1

2

是關于正整數(shù)n的增函數(shù)
故T_n的最小值為T1=

2

3

-

1

2

=

1

6

即對一切n∈N^*，都有Tn≥

1

6

點評：在已知數(shù)列的項與和的遞推關系求數(shù)列的通項時，常采用的方法是仿寫相減得到項與項的遞推關系，再求通項．