Question

16．斜率為$\sqrt{2}$的直線過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F交橢圓于A，B兩點，且滿足$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，則橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知：：設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線，過A、B作AA₁，BB₁垂直于l，A₁，B₁為垂足，由橢圓的第二定義可知：丨AA₁丨=$\frac{丨AF丨}{e}$，丨BB₁丨=$\frac{丨BF丨}{e}$，則丨$\overrightarrow{A{A}_{1}}$丨=3$\frac{丨\overrightarrow{BF}丨}{e}$，cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{2\frac{丨BF丨}{e}}{4丨BF丨}$=$\frac{1}{2e}$，根據(jù)直線的斜率公式可知：tan∠BAE=k_AB=$\sqrt{2}$，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線，過A、B作AA₁，BB₁垂直于l，A₁，B₁為垂足，過B作BE⊥AA₁于E，
則丨AA₁丨=$\frac{丨AF丨}{e}$，丨BB₁丨=$\frac{丨BF丨}{e}$，由$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$知，丨$\overrightarrow{A{A}_{1}}$丨=3$\frac{丨\overrightarrow{BF}丨}{e}$，
 cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{2\frac{丨BF丨}{e}}{4丨BF丨}$=$\frac{1}{2e}$，
sin∠BAE=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAE}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4{e}^{2}}}$，
那么tan∠BAE=$\frac{sin∠BAE}{cos∠BAE}$=$\frac{\sqrt{1-\frac{1}{4{e}^{2}}}}{\frac{1}{2e}}$=k_AB=$\sqrt{2}$，整理得：4e2-1=2，解得：e=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜e＜1
∴橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的第二定義，考查直線的離心率公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．