精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知點P為橢圓C： $數(shù)學(xué)公式$ + $數(shù)學(xué)公式$ =1 （b＞0）上的動點，且|OP|的最小值為1，其中O為坐標(biāo)原點，則b=________．

1
分析：根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，設(shè)P（2cosα，bsinα），可得|OP|²= $\text{[math]}$ （b²+4）+（2- $\text{[math]}$ b²）cos2α．因為|OP|的最小值為1，所以 $\text{[math]}$ （b²+4）-|2- $\text{[math]}$ b²|=1，再加以討論即可解出b的值為1．
解答：∵點P為橢圓C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 （b＞0）上的動點，
∴設(shè)P（2cosα，bsinα），可得
|OP|²=4cos²α+b²sin²α= $\text{[math]}$ （b²+4）+（2- $\text{[math]}$ b²）cos2α
∵|OP|的最小值為1，得|OP|²的最小值也為1
∴ $\text{[math]}$ （b²+4）-|2- $\text{[math]}$ b²|=1
當(dāng)b²≥4時，方程化為 $\text{[math]}$ （b²+4）-（ $\text{[math]}$ b²-2）=1得4=1，無實數(shù)解；
當(dāng)b²＜4時， $\text{[math]}$ （b²+4）-（2- $\text{[math]}$ b²）=1，即b²=1，解之得b=1
綜上所述，所求b的值為1
故答案為：1
點評：本題給出橢圓上的動點P到原點的距離最小值為1，求參數(shù)b的值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)、曲線上的點到原點最短距離求法等知識，屬于中檔題．

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已知點P為橢圓C：

=1(a＞b＞0)上一動點，橢圓C左，右頂點分別為A，B，左焦點為F，若|PF|最大值與最小值分別為4和2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l過點A且傾斜角為30°，點M為橢圓C長軸上一動點，且點M到直線l的距離等于|MB|，若連接PM并延長與橢圓C交于點Q，求S_△APQ的最大值．

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