已知Rt△ABC中（如圖1），AB⊥AC，AB=4，∠ACB=30°，AD⊥BC，沿AD折疊，使得折疊后∠BDC=90°，如圖2所示．
（1）求證：AD⊥平面BDC
（2）求三棱錐A-BDC的體積．
考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由已知條件得AD⊥BD，AD⊥DC，由此能證明AD⊥平面BDC．
（2）由題設(shè)可得：BD=2，DC=6，AD=2
3
，由此能求出三棱錐A-BDC的體積．
解答： （1）證明：∵Rt△ABC中（如圖1），AB⊥AC，AB=4，∠ACB=30°，AD⊥BC，
沿AD折疊，使得折疊后∠BDC=90°，
∴AD⊥BD，AD⊥DC，…（4分）
又BD∩DC=D，
所以，AD⊥平面BDC…（6分）
（2）由題設(shè)可得：BD=2，DC=6，AD=2
3
，…（9分）
∴三棱錐A-BDC的體積為：
V=
1
3
×S△BDC×AD
=
1
3
×
1
2
×2×6×2
3
=4
3
．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），離心率為
3
2
，長軸長為4，圓O：x2+y2=1（O為原點(diǎn)），直線l：y=kx+m是圓O的一條切線，且直線l與橢圓M交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求△AOB的面積取最大值時(shí)直線l的斜率k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A，B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（x0，0），求x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為
3
2
2
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為M，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，證明：存在λ∈R，使得
MN
=λ
OF
；
（3）在（2）的條件下，若拋物線C的切線BM與y軸交于點(diǎn)R，直線AB兩點(diǎn)的連線過點(diǎn)F，試求△ABR面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為
64π
3
立方米．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為4千元．設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y千元．
（Ⅰ）將y表示成r的函數(shù)f（r），并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（r）的單調(diào)性，并確定r和l為何值時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最小，并求出最小建造費(fèi)用．
（參考公式：球的表面積公式S=4πr2，球的體積公式V=
4
3
πr3，圓柱體的側(cè)面積公式S=2πrl，圓柱體的體積公式V=πr2l）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)P（0，-1）是橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑．求橢圓C1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在橢圓中，稱過焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓所截得的弦為橢圓的“通徑”．已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其離心率為
1
2
，通徑長為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖所示，過點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，I1、I2分別為△F1BF2、△F1AF2的內(nèi)心，延長BF2與橢圓交于點(diǎn)M，求四邊形F1I2F2I1的面積與△AF2B的面積的比值；
（3）在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得
PM
•
PB
為定值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：x2-
y2
2
=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B．曲線M是以A、B兩點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，離心率為
2
2
的橢圓．設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓M相交于另一點(diǎn)T．
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P、T的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，證明：x1x2=1；
（Ⅱ）設(shè)△TAB與△POB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為S1與S2，且
PA
•
PB
≤9，求S1•S2的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-ax2+bx+c（a，b，c∈R，e=2.718…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x+1．
（Ⅰ）求b與c的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的實(shí)數(shù)解，求a的值；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，證明：函數(shù)f（x）在[0，3]上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，并求f（x）在[0，3]是的最大值．
（參考數(shù)據(jù)：e2≈7.39，e3≈20.09，e4≈54.60）

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同步練習(xí)冊答案