如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED；②求二面角P-AB-C大小．
（1）證明：∵E為BC邊中點(diǎn)∴CE=
1
2
BC=
1
2
CD
又∵∠BCD=60°∴DE⊥BC∴DE⊥AD
∵PD⊥AD∴AD⊥面PDE
（2）∵AD⊥面PDE∴AD⊥PD，AD⊥DE
∴∠PDE為二面角P-AD-C的平面角∴∠PDE=60°
過P作PF⊥DE交于F，則PF⊥面ABCD
∴PF=PDsin60°=4，DF=PDcos60°=
4
3
3
在底面ABCD中：DE=4sin60°=2
3

∴SABED=6
3

∴①VP-ABED=
1
3
SABED•PF=
1
3
×6
3
×4=8
3

②連接BF．∵EF=
2
3
3
，BE=2
∴tan∠EBF=
3
3
∴∠EBF=30°
∴∠FBA=120°-30°=90°∴FB⊥AB
∵PF⊥面ABCD∴PB⊥AB
∴∠PBF為二面角P-AB-C平面角．
在△BEF中：BF=2EF=
4
3
3

∴tan∠PBF=
3
，∴∠PBF=60°
∴二面角P-AB-C為60°
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在棱長都為a的正三棱柱ABC-A1B1C1中，P是A1B的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求PC與平面ABB1A1所成的角；
（Ⅱ）求C1到平面PAC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

三棱錐S-ABC中，底面為邊長為6的等邊三角形，SA=SB=SC，三棱錐的高為
3
，則側(cè)面與底面所成的二面角為（　�。�
A．45°B．30°C．60°D．65°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方形ABCD所在平面與矩形ACEF所在平面垂直，其中AB=
2
，AF=1，M是EF中點(diǎn)．
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-BD-F的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，點(diǎn)O是正方形紙片ABCD的中心，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)沿對(duì)角線AC把紙片折成直二面角，則紙片折后∠EOF的大小為（　�。�
A．30°B．60°C．120°D．150°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正方形ABCD沿其對(duì)角線AC將△ADC折起，設(shè)AD與平面ABC所成的角為β，當(dāng)β取最大值時(shí)，二面角B-AC-D的大小為（　　）
A．120°B．90°C．60°D．45°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a．
（I）若M是底面ABCD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|MB|=|MS|，求點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡；
（II）試問在線段SD上是否存在點(diǎn)E，使二面角C-AE-D的大小為60°？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BB1⊥底面ABC，D為棱AC的中點(diǎn)，E為棱A1C1的中點(diǎn)，且AB=BC=BB1=1．
（1）求證：CE∥平面BA1D．
（2）求二面角A1-BD-C的余弦值．
（3）棱CC1上是否存在一點(diǎn)P，使PD⊥平面A1BD，若存在，試確定P點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在三棱錐P-ABC中，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB≠AC，AC＞AD，PC與DE所成的角為α，PD與平面ABC所成的角為β，二面角P-BC-A的平面角為γ，則α，β，γ的大小關(guān)系是（　�。�
A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．γ＜β＜α

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