Question

2．如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=3，AB=2，∠ABC=60°，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PD上，且PF=2FD．
（Ⅰ）證明：BE∥平面AFC；
（Ⅱ）求二面角F-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐標(biāo)系求出平面AFC的法向量，利用向量法即可證明：BE∥平面AFC；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角F-AC-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，平面ABCD內(nèi)過A點(diǎn)垂直AD的直線為x軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
由題意知相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），
C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3）…（2分）
由點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PD上，且PF=2FD得：
E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），F(xiàn)（0，$\frac{4}{3}$，1）
所以 $\overrightarrow{AF}$=（0，$\frac{4}{3}$，1），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面AFC的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}y+z=0}\\{\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，
令y=1取得平面AFC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，-$\frac{4}{3}$）．…（5分）
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，-$\frac{4}{3}$）．（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$-2=0，
則$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{BE}$
又BE?平面AFC，
所以BE∥平面AFC．…（8分）
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD知平面ACD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，3），
因?yàn)閏os＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{-4}{\sqrt{\frac{1}{3}+1+\frac{16}{9}}•\sqrt{9}}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
由題中條件可知二面角F-AC-D為銳角，所以它的余弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．…（12分）
注：第一問用幾何方法證明記（6分）．其他解法相應(yīng)記分．

點(diǎn)評 本題主要考查線面平行的判斷以及二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．