Question

16．如圖，設(shè)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，Q是AA₁的中點，點P在線段B₁D₁上；
（1）試在線段B₁D₁上確定點P的位置，使得異面直線QB與DP所成角為60^°，并請說明
你的理由；
（2）在滿足（1）的條件下，求四棱錐Q-DBB₁P的體積．

Answer 1

分析 （1）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DD₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)D₁P=λD₁B₁，把P的坐標用λ表示，然后分別求出$\overrightarrow{DP}、\overrightarrow{QB}$的坐標，再由|cos＜$\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{QB}$＞|=cos60°列式求得λ值得答案；
（2）由圖可得四棱錐Q-DBB₁P的高為A₁P，再求出底面直角梯形的面積，代入棱錐體積公式求得四棱錐Q-DBB₁P的體積．

解答 解：（1）P是線段B₁D₁中點．
證明如下：
以D為坐標原點，分別以DA、DC、DD₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），Q（1，0，1），B（1，1，0），D₁（0，0，2），B₁（1，1，2），
設(shè)D₁P=λD₁B₁，則$\overrightarrow{{D}_{1}P}=（λ，λ，0）$，∴P（λ，λ，2），
∴$\overrightarrow{DP}$=（λ，λ，2），又$\overrightarrow{QB}$=（0，1，-1），
∴|cos＜$\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{QB}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{QB}}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{QB}|}$|=cos60$°=\frac{1}{2}$．
∴|$\frac{λ-2}{\sqrt{2{λ}^{2}+4}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，解得：$λ=\frac{1}{2}$；
（2）連接A₁P，則A₁P⊥平面DBB₁D₁，
∵A₁Q∥平面DBB₁D₁，∴四棱錐Q-DBB₁P的高為${A}_{1}P=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
${S}_{四邊形DB{B}_{1}P}=\frac{1}{2}×（\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）×2$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴${V}_{Q-DB{B}_{1}P}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查利用空間向量求解異面直線所成角，考查了棱錐體積的求法，是中檔題．