Question

11．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，且tan A，tan B，tan C，2tan B依次成等差數(shù)列，則sin2B=（　�。�

• A． 1
• B． -$\frac{4}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． ±$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的定義求得tan C=$\frac{3}{2}$tan B，tan A=$\frac{1}{2}$tan B，再利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的正切公式求得tanB的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式，求得sin2B的值．

解答 解：由條件tan A，tan B，tan C，2tan B依次成等差數(shù)列，
可得tan C=$\frac{3}{2}$tan B，tan A=$\frac{1}{2}$tan B，
所以△ABC為銳角三角形，
又tan A=-tan（C+B）=-$\frac{tanC+tanB}{1-tanCtanB}$=-$\frac{\frac{5}{2}tanB}{1-\frac{3}{2}tanB•tanB}$=$\frac{1}{2}$tan B，得tan B=2，
所以sin 2B=2sin Bcos B=$\frac{2sinB•cosB}{{sin}^{2}B{+cos}^{2}B}$=$\frac{2tanB}{{tan}^{2}B+1}$=$\frac{4}{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正切公式、二倍角的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．