Question

已知：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，AA₁=2，E為棱CC₁的中點．
（Ⅰ） 求證：B₁D₁⊥AE；
（Ⅱ） 求證：AC∥平面B₁DE．

Answer 1

解：（Ⅰ）連接BD，則BD∥B₁D₁，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD．
又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．---------------（3分）
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．---（5分）
（Ⅱ）證明：取BB₁的中點F，連接AF、CF、EF．
∵E、F是C₁C、B₁B的中點，
∴CE∥B₁F且CE=B₁F
∴四邊形B₁FCE是平行四邊形，
∴CF∥B₁E．
∵正方形BB₁C₁C中，E、F是CC、BB的中點，
∴EF∥BC且EF=BC
又∵BC∥AD且BC=AD，
∴EF∥AD且EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形，可得AF∥ED，
∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴平面ACF∥平面B₁DE． 又∵AC?平面ACF，
∴AC∥面B₁DE．------（10分）
分析：（Ⅰ）連接BD，則BD∥B₁D₁．在ABCD是正方形中，AC⊥BD，結(jié)合CE⊥BD，可以證出BD⊥面ACE，從而得到BD⊥AE，利用平行線的性質(zhì)得到B₁D₁⊥AE．
（II）取BB₁的中點F，連接AF、CF、EF．可以證出四邊形B₁FCE是平行四邊形，從而CF∥B₁E；然后再證四邊形ADEF是平行四邊形，可得AF∥ED，結(jié)合面面平行的判定定理，得到平面ACF∥平面B₁DE． 最后利用面面平行的性質(zhì)，得到AC∥面B₁DE．
點評：本題以正方體為平臺，考查證明了線面垂直和線面平行，著重考查了空間直線與平面平行的判定與性質(zhì)和面面平行的判定與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．