Question

已知：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，AA₁=2，E為棱CC₁的中點．
（Ⅰ） 求證：B₁D₁⊥AE；
（Ⅱ） 求證：AC∥平面B₁DE．

Answer 1

解：（Ⅰ）連接BD，則BD∥B₁D₁，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD．
又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．---------------（3分）
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．---（5分）
（Ⅱ）證明：取BB₁的中點F，連接AF、CF、EF．
∵E、F是C₁C、B₁B的中點，
∴CE∥B₁F且CE=B₁F
∴四邊形B₁FCE是平行四邊形，
∴CF∥B₁E．
∵正方形BB₁C₁C中，E、F是CC、BB的中點，
∴EF∥BC且EF=BC
又∵BC∥AD且BC=AD，
∴EF∥AD且EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形，可得AF∥ED，
∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴平面ACF∥平面B₁DE． 又∵AC?平面ACF，
∴AC∥面B₁DE．------（10分）
分析：（Ⅰ）連接BD，則BD∥B₁D₁．在ABCD是正方形中，AC⊥BD，結合CE⊥BD，可以證出BD⊥面ACE，從而得到BD⊥AE，利用平行線的性質得到B₁D₁⊥AE．
（II）取BB₁的中點F，連接AF、CF、EF．可以證出四邊形B₁FCE是平行四邊形，從而CF∥B₁E；然后再證四邊形ADEF是平行四邊形，可得AF∥ED，結合面面平行的判定定理，得到平面ACF∥平面B₁DE． 最后利用面面平行的性質，得到AC∥面B₁DE．
點評：本題以正方體為平臺，考查證明了線面垂直和線面平行，著重考查了空間直線與平面平行的判定與性質和面面平行的判定與性質等知識，屬于基礎題．