Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 證明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ） 求直線AC與平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，得EF∥CD，由此能證明EF∥平面PAB．
（Ⅱ）取線段PA中點(diǎn)M，連結(jié)EM，則EM∥AC，故AC與面ABEF所成角的大小等于ME與面ABEF所成角的大小，由此能求出AC與平面ABEF所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，所以EF∥CD，
又因?yàn)镃D∥AB，所以EF∥AB，
又因?yàn)镋F?平面PAB，AB?平面PAB，
所以EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：取線段PA中點(diǎn)M，連結(jié)EM，則EM∥AC，
故AC與面ABEF所成角的大小等于ME與面ABEF所成角的大�。�
作MH⊥AF，垂足為H，連結(jié)EH．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，
又因?yàn)锳B⊥AD，所以AB⊥平面PAD，
又因?yàn)镋F∥AB，
所以EF⊥平面PAD．
因?yàn)镸H?平面PAD，所以EF⊥MH，
所以MH⊥平面ABEF，
所以∠MEH是ME與面ABEF所成的角．
在直角△EHM中，EM=

1

2

AC=

5

，MH=

2

2

，得
sin∠MEH=

10

10

．
所以AC與平面ABEF所成的角的正弦值是

10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．