Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2a的菱形，且SA=SC=2a，SB=SD=

2

a，點E是SC上的點，且SE=λa（0＜λ≤2）．
（1）求證：對任意的λ∈（0，2]，都有BD⊥AE；
（2）若SC⊥平面BED，求直線SA與平面BED所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)BD，AC，設(shè)BD與AC交于O，由已知得BD⊥AC，BD⊥SO，由此能證明BD⊥面SAC，從而BD⊥AE．
（2）取SC的中點F，連結(jié)OF，OE，則SA∥OF，從而OF與平面EDB所成的角就是SA與平面EDB所成的角，進而∠EOF為所求角，由此能求出直線SA與平面BED所成角．

解答： （1）證明：連結(jié)BD，AC，設(shè)BD與AC交于O． （1分）
由底面是菱形，得BD⊥AC，（2分）
∵SB=SD，O為BD中點，∴BD⊥SO，（3分）
又AC∩SO=O，∴BD⊥面SAC，（4分）
又AE?面SAC，∴BD⊥AE．（5分）
（2）解：取SC的中點F，連結(jié)OF，OE，
∴SA∥OF，∴OF與平面EDB所成的角就是SA與平面EDB所成的角，（6分）
∵SC⊥平面BED，∴FE⊥面BED，E為垂足，∴∠EOF為所求角，（7分）
在等腰△CSB中，SC=BC=2a，SB=

2

a，得底邊SB上的高為CH=

7 2

a，
∴SC•BE=SB•CH，∴BE=

2 a• 7 2 a

2a

=

7

2

a，（9分）
∴在Rt△BES中，SE=

2a2- 7 4 a2

=

1

2

a，
∴EF=a-

1

2

a=

1

2

a，（10分）
在Rt△FEO中，OF=a，∴sin∠EOF=

EF

OF

=

1

2

，（11分）
即直線SA與平面BED所成角為

π

6

．（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．