Question

已知定點(diǎn)A（2，0），P點(diǎn)在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，∠AOP的平分線交PA于Q點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由三角形內(nèi)角平分線定理寫出方程組，解出x₀和y₀，代入已知圓的方程即可．此求軌跡方程的方法為相關(guān)點(diǎn)法．

解答：解：在△AOP中，∵OQ是?AOP的平分線
∴

|AQ|

|PQ|

=

|OA|

|OP|

=

2

1

=2
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）；P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）
∴

x= 2+2x0 1+2 y= 0+2y0 1+2

即

x0= 3x-2 2 y0= 3 2 y

，
∵P（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，∴x₀²+y₀²=1
即(

3x-2

2

)2+(

3

2

y)2=1，
∴(x-

2

3

)2+y2=

4

9

，
此即Q點(diǎn)的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程．在用此法時(shí)，注意要將要求的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為（x，y），最后求得的x與y的關(guān)系式即為所求．