Question

已知圓P過點A（1，0），B（4，0），且圓心P的縱坐標為2，以坐標原點為對稱中心且焦點落在y軸上的橢圓Ω的離心率與雙曲線x²-y²=1的離心率互為倒數(shù)，過點A作一條不與x軸垂直的直線l與橢圓Ω交于C，D兩點．
（1）求圓P的標準方程；
（2）若x軸恰好為∠CBD的角平分線，求橢圓Ω的標準方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,圓的標準方程

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意求出圓的圓心坐標，再由兩點間的距離求出圓的半徑，代入圓的標準方程得答案；
（2）求出雙曲線的離心率，得到橢圓的離心率，進一步得到橢圓長半軸長和短半軸長的關(guān)系，得到橢圓方程，設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x軸恰好為∠CBD的角平分線列式求得b，則橢圓方程可求．

解答： 解：（1）由題意可知，圓心在AB的垂直平分線上，
∵A（1，0），B（4，0），且圓心P的縱坐標為2，
∴圓心坐標為（

5

2

，2），則半徑為

( 5 2 -1)2+(2-0)2

=

5

2

．
∴圓P的標準方程為(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

；
（2）由題意設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵與雙曲線x²-y²=1的離心率為

2

，∴橢圓的離心率為

2

2

，
即

c

a

=

2

2

，∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，則a²=2b²．
∴橢圓方程為2x²+y²=2b²．
如圖，

設(shè)過A的直線l的方程為y-0=k（x-1），即y=kx-k．
聯(lián)立

y=kx-k 2x2+y2=2b2

，得（2+k²）x²-2k²x+k²-2b²=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則x1+x2=

2k2

k2+2

，x1x2=

k2-2b2

k2+2

，
由x軸恰好為∠CBD的角平分線，得

y1

x1-4

=-

y2

x2-4

，即2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=0．
∴

2k2-4b2

k2+2

-

10k2

k2+2

+8=0，即b²=4．
∴橢圓方程為：

y2

8

+

x2

4

=1．

點評：本題考查了圓的標準方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中高檔題．