17.已知F1、F2分別為雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1({a>0,b>0})$的左、右焦點,若雙曲線C右支上一點P滿足|PF1|=3|PF2|且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=a2,則雙曲線C的離心率為( 。
A.3B.$\sqrt{3}$C.2D.$\sqrt{2}$

分析 設(shè)|PF2|=t,則|PF1|=3t,利用雙曲線的定義,可得t=a,利用余弦定理可得cos∠F1PF2,再利用數(shù)量積公式,即可求出雙曲線C的離心率.

解答 解:設(shè)|PF2|=t,則|PF1|=3t,∴3t-t=2a,
∴t=a,
由余弦定理可得cos∠F1PF2=$\frac{9{a}^{2}+{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×3a×a}$=$\frac{5{a}^{2}-2{c}^{2}}{3{a}^{2}}$,
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=a2,
∴3a•a•$\frac{5{a}^{2}-2{c}^{2}}{3{a}^{2}}$=a2,
∴c=$\sqrt{2}$a,
∴e=$\sqrt{2}$.
故選D

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì),考查了雙曲線的定義、余弦定理的運用,考查向量的數(shù)量積公式,屬于中檔題.

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