Question

如圖，平面ABB₁A₁為圓柱OO₁的軸截面，點(diǎn)C為底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）若D為AC的中點(diǎn)，求證：A₁D∥平面O₁BC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）只要證明BC垂直于平面A₁AC的兩條相交直線AC，AA₁即可；
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)DE、O₁E，只要證明A₁D∥EO₁，然后利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）因?yàn)锳B為圓O的直徑，點(diǎn)C為圓O上的任意一點(diǎn)
∴BC⊥AC        …（2分）
又圓柱OO₁中，AA₁⊥底面圓O，
∴AA₁⊥BC，即BC⊥AA₁     …（4分）
而AA₁∩AC=A
∴BC⊥平面A₁AC           …（6分）
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)DE、O₁E，
∵D為AC的中點(diǎn)
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=

1

2

AB        …（8分）
又圓柱OO₁中，A₁O₁∥AB，且A1O1=

1

2

AB
∴DE∥A₁O₁，DE=A₁O₁
∴A₁DEO₁為平行四邊形       …（10分）
∴A₁D∥EO₁            …（11分）
而A₁D?平面O₁BC，EO₁?平面O₁BC
∴A₁D∥平面O₁BC            …（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系；考查學(xué)生的空間想象能力及推理論證能力．