Question

7．為了解某班學生喜愛籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛籃球的學生的概率為$\frac{3}{5}$．

	喜愛籃球	不喜愛籃球	合計
男生		5
女生	10
合計			50

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整（不用寫計算過程）；
（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；
（3）以該班學生的情況來估計全校女生喜愛籃球的情況，用頻率代替概率．現(xiàn)從全校女生中抽取3人進一步調(diào)查，設(shè)抽到喜愛籃球的女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由已知條件能把列聯(lián)表補充完整．
（2）求出K²≈8.333＞7.879，從而在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為喜愛籃球與性別有關(guān)．
（3）從全校女生中隨機抽取1人，抽到喜愛籃球的女生的概率為$\frac{2}{5}$，抽到喜愛打籃球的女生人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出ξ的分布列與期望．

解答 解：（1）列聯(lián)表補充如下：-----------------------（3分）

	喜愛籃球	不喜愛籃球	合計
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合計	30	20	50

（3分）
（2）∵K²=$\frac{50×（20×15-10×5）}{30×20×25×25}$≈8.333＞7.879，
∴在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為喜愛籃球與性別有關(guān)．--------------（6分）
（3）從全校女生中隨機抽取1人，抽到喜愛籃球的女生的概率為$\frac{2}{5}$
抽到喜愛打籃球的女生人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），--------（8分）
其概率為$P（ξ=k）={C_3}^k{（\frac{2}{5}）^k}•{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，k=0，1，2，3$，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{36}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）=\frac{54}{125}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}=\frac{8}{125}$，--------（10分），
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{8}{125}$

ξ的期望值為$Eξ=3•\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$---------------------（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的概率分布列、數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．