Question

若直線y=2x+m是曲線y=xlnx的切線，則實數m的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設切點為（x，xlnx），對y=xlnx求導數得y′=lnx+1，從而得到切線的斜率k=lnx+1，結合直線方程的點斜式化簡得切線方程為y=（lnx+1）x-x，對照已知直線列出關于x、m的方程組，解之即可得到實數m的值．
解答：解：設切點為（x，xlnx），
對y=xlnx求導數，得
∴切線的斜率k=lnx+1，
故切線方程為y-xlnx=（lnx+1）（x-x），
整理得y=（lnx+1）x-x，
與y=2x+m比較得，
解得x=e，故m=-e．
故答案為：-e
點評：本題給出曲線y=xlnx的一條切線的斜率等于2，求切線在y軸上的截距值，著重考查了導數的運算法則和利用導數研究曲線上某點切線方程等知識，屬于中檔題．