Question

若直線y=2x+m是曲線y=xlnx的切線，則實(shí)數(shù)m的值為

-e

．

Answer 1

分析：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，x₀lnx₀），對y=xlnx求導(dǎo)數(shù)得y′=lnx+1，從而得到切線的斜率k=lnx₀+1，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡得切線方程為y=（lnx₀+1）x-x₀，對照已知直線列出關(guān)于x₀、m的方程組，解之即可得到實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，x₀lnx₀），
對y=xlnx求導(dǎo)數(shù)，得y′=(xlnx)′=lnx+x•

1

x

=lnx+1
∴切線的斜率k=lnx₀+1，
故切線方程為y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
整理得y=（lnx₀+1）x-x₀，
與y=2x+m比較得

lnx0+1=2 -x0=m

，
解得x₀=e，故m=-e．
故答案為：-e

點(diǎn)評：本題給出曲線y=xlnx的一條切線的斜率等于2，求切線在y軸上的截距值，著重考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等知識，屬于中檔題．