Question

已知a＞1，f（log_ax）=．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）若當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的集合M．

Answer 1

解：（1）令t=log_ax（t∈R），
則x=a^t，f（t）=，
∴f（x）=（x∈R）．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x是增函數(shù)，y=是減函數(shù)，y=-是增函數(shù)．
∴y=為增函數(shù)，
又∵＞0，
∴f（x）=是R上的增函數(shù)．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x是減函數(shù)，y=是增函數(shù)，y=-是減函數(shù)．
∴y=為減函數(shù)．
又∵＜0，
∴f（x）=是R上的增函數(shù)．
綜上可知，在a＞1或0＜a＜1時(shí)，y=f（x）為R上的增函數(shù)．
（3）∵f（-x）==-=-f（x），且x∈R，
∴f（x）為奇函數(shù)．
∵f（1-m）+f（1-）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），
由（2）可知y=f（x）為R上的增函數(shù)，
∴-1＜1-m＜m²-1＜1，
解之得：1＜m＜．
分析：（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法令t=log_ax，從而推出x=a^t，導(dǎo)出f（t）后，直接把f（t）中的變量t都換成x就得到f（x）；
（2）先對(duì)a進(jìn)行分類討論，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明；
（3）求出f（-x），然后把f（-x）和f（x）進(jìn)行比較，若f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)；結(jié)合f（x）的奇偶性與單調(diào)性進(jìn)行求解，故由f（1-m）+f（1-m²）＜0可知f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)求解m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合題，考查了換元法求解析式，指數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求有關(guān)函數(shù)值的不等式等等，考查了轉(zhuǎn)化思想和分析、解決問題的能力．