Question

已知：f（x）=為奇函數(shù)，
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求a的值；
（Ⅲ）求函數(shù)值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）要使原函數(shù)有意義，則2^x-1≠0，解得：x≠0，所以，原函數(shù)的定義域為{x|x≠0}；
（Ⅱ）因為f（x）=為奇函數(shù)，
所以有f（-x）+f（x）=0恒成立，即恒成立，
整理得：，
（a+1）•2^x-a+a•2^x-1-a=0，
也就是（2a+1）•（2^x-1）=0恒成立，
則．
（Ⅲ）把代入原函數(shù)得，，
由，得2y-2y•2^x=1+2^x，
即2^x（2y+1）=2y-1，則，
由，得：，或．
所以，函數(shù)的值域為（-∞，-）∪（，+∞）．
分析：（Ⅰ）由分式函數(shù)的分母不等于0求解x的取值集合得原函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）利用奇函數(shù)的概念，由f（-x）+f（x）=0恒成立列式求a的值；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的a的值代入函數(shù)解析式，然后化簡整理，把2^x用含有y的代數(shù)式表示，由2^x＞0，求解關于y的分式不等式，最后得到原函數(shù)的值域．
點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的奇偶性，由函數(shù)的奇偶性求解代求系數(shù)時，往往轉化為恒等式的系數(shù)為0求解，考查了利用有界性求解函數(shù)的值域，此題屬中檔題．