Question

已知（x•cosθ+1）ⁿ（n≤N^*）的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為32，且展開式中含x²的系數(shù)與(x+

5

4

)4的展開式中x³的系數(shù)相等，則銳角θ的值是（　　）

• A．

  5π

  12

• B．

  π

  6

• C．

  π

  3

• D．

  π

  4

Answer 1

分析：由題意，（x•cosθ+1）ⁿ的展開式中二項式系數(shù)之和為32，即2ⁿ=32，可得n=5；由二項式定理求得（x•cosθ+1）ⁿ展開式中x²項的系數(shù)與(x+

5

4

)4的展開式中x³的系數(shù)，令兩者相等根據(jù)題意，可得10cos²θ=5，解可得cos2θ=

1

2

，又由θ為銳角，可得cosθ的值，進而可得答案．

解答：解：由（x•cosθ+1）ⁿ（n≤N^*）的展開式中二項式系數(shù)之和為32，得2ⁿ=32，則n=5；
故（x•cosθ+1）ⁿ（n≤N^*）展開式中x²的系數(shù)為C₅³cos²θ=10cos²θ，
(x+

5

4

)4的展開式中x³的系數(shù)為

C

1 4

•

5

4

=5，
根據(jù)題意，有10cos²θ=5，則cos2θ=

1

2

，
又由θ為銳角，則cosθ=

2

2

，
即θ=

π

4

；
故選D．

點評：本題考查二項式定理的應用，注意角θ為銳角，其余弦為正值．