【題目】如圖,在三棱柱中,底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,平面于點(diǎn),且平面.

(1)求證: ;

(2)若四邊形是正方形,且,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】試題分析:(1)連結(jié),設(shè)相交于點(diǎn),連接,則中點(diǎn),根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得,從而證明的中點(diǎn),根據(jù)正三角形的性質(zhì)可證明;(2)根據(jù)勾股定理可證明,結(jié)合,由線面垂直的判定定理可得平面,設(shè)的中點(diǎn)為, 的中點(diǎn)為,以為原點(diǎn), 所在直線為軸, 所在直線為軸, 所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,可得直線的方向向量為,再利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組,求出平面的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析:(1)證:連結(jié),設(shè)相交于點(diǎn),連接,

中點(diǎn),

平面 平面平面

,

的中點(diǎn).

又∵為正三角形,

.

(2)∵,∴.

.

,∴平面

設(shè)的中點(diǎn)為 的中點(diǎn)為,以為原點(diǎn),

所在直線為軸, 所在直線為軸, 所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

, ,

.

平面的一個(gè)法向量,

.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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)求拋物線的方程和橢圓的方程;

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【題目】某協(xié)會(huì)對(duì)兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行滿意度調(diào)查,在,兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)提供過服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取了人,每人分別對(duì)這兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行獨(dú)立評(píng)分,滿分均為分.整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以為組距分成組:,,,,得到服務(wù)機(jī)構(gòu)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表,服務(wù)機(jī)構(gòu)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖:

定義市民對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”如下:

分?jǐn)?shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

(1)在抽樣的人中,求對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為的人數(shù);

(2)從在,兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)都提供過服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查,試估計(jì)對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高的概率;

(3)如果從,服務(wù)機(jī)構(gòu)中選擇一家服務(wù)機(jī)構(gòu),以滿意度出發(fā),你會(huì)選擇哪一家?說明理由.

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)若,請(qǐng)寫出數(shù)列的前7項(xiàng);

)求證:對(duì)于任意正整數(shù)必存在,使得

)求證:“”是“存在,當(dāng)時(shí),恒有 成立”的充要條件。

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【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

(1)求的值;

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(2)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍.

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