【題目】如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面交于點(diǎn)，且平面.

（1）求證： ；

（2）若四邊形是正方形，且，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）連結(jié)，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，則為中點(diǎn)，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得，從而證明為的中點(diǎn)，根據(jù)正三角形的性質(zhì)可證明；（2）根據(jù)勾股定理可證明，結(jié)合，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，設(shè)的中點(diǎn)為， 的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)， 所在直線(xiàn)為軸， 所在直線(xiàn)為軸， 所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得直線(xiàn)的方向向量為，再利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果．

試題解析：（1）證：連結(jié)，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，

則為中點(diǎn)，

∵平面， 平面平面

∴，

∴為的中點(diǎn).

又∵為正三角形，

∴.

（2）∵，∴.

又，

∴.

又，∴平面

設(shè)的中點(diǎn)為， 的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，

所在直線(xiàn)為軸， 所在直線(xiàn)為軸， 所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則， ，

∴.

平面的一個(gè)法向量，

.

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在某城市街道上一側(cè)路邊邊緣某處安裝路燈，路寬為米，燈桿長(zhǎng)4米，且與燈柱成角，路燈采用可旋轉(zhuǎn)燈口方向的錐形燈罩，燈罩軸線(xiàn)與燈的邊緣光線(xiàn)(如圖， )都成角，當(dāng)燈罩軸線(xiàn)與燈桿垂直時(shí)，燈罩軸線(xiàn)正好通過(guò)的中點(diǎn)．

（I）求燈柱的高為多少米;

（II）設(shè)，且，求燈所照射路面寬度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱底面．已知是的中點(diǎn)， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求證：∥平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形， 為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】【2018貴州遵義市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為；自引直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)．

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程和橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某協(xié)會(huì)對(duì)，兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行滿(mǎn)意度調(diào)查，在，兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)提供過(guò)服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取了人，每人分別對(duì)這兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行獨(dú)立評(píng)分，滿(mǎn)分均為分.整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以為組距分成組：，，，，，，得到服務(wù)機(jī)構(gòu)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，服務(wù)機(jī)構(gòu)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖：

定義市民對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿(mǎn)意度指數(shù)”如下：

分?jǐn)?shù)

滿(mǎn)意度指數(shù)

0

1

2

（1）在抽樣的人中，求對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)“滿(mǎn)意度指數(shù)”為的人數(shù)；

（2）從在，兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)都提供過(guò)服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿(mǎn)意度指數(shù)”比對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿(mǎn)意度指數(shù)”高的概率；

（3）如果從，服務(wù)機(jī)構(gòu)中選擇一家服務(wù)機(jī)構(gòu)，以滿(mǎn)意度出發(fā)，你會(huì)選擇哪一家？說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足： 為正整數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)， 為前項(xiàng)， ， ， 中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

（Ⅰ）若，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列的前7項(xiàng)；

（Ⅱ）求證：對(duì)于任意正整數(shù)，必存在，使得；

（Ⅲ）求證:“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有 成立”的充要條件。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.

（1）求的值；

（2）如果當(dāng)，且時(shí)， ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

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