Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=

2

AB，E是SA的中點．
（Ⅰ）求證：平面BED⊥平面SAB；
（Ⅱ）求三棱錐S-BDE與四棱錐S-ABCD體積的比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得平面SAD⊥平面ABCD，由線面垂直得DE⊥AB，由等腰三角形性質得DE⊥SA，由此能證明平面BED⊥平面SAB．
（Ⅱ）由V_S-BDE=V_A-BDE=V_E-ABD，利用等積法能求出三棱錐S-BDE與四棱錐S-ABCD體積的比．

解答： （Ⅰ）證明：∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．…（3分）
∵SD=AD，E是SA的中點，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB，
∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）
（Ⅱ）解：設四棱錐S-ABCD的高為h，體積為V，則
因為E是SA的中點，所以有下面的體積關系：
V_S-BDE=V_A-BDE=V_E-ABD=

1

3

•

1

2

AB•AD•

1

2

h=

1

4

•

1

3

AB•AD•h=

1

4

V，
即三棱錐S-BDE與四棱錐S-ABCD體積的比為

1

4

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐S-BDE與四棱錐S-ABCD體積的比的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．