Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）．定義：使a₁a₂…a_k為整數(shù)的k值（k∈N^*）叫“理想數(shù)”，則區(qū)間[1，2009]內(nèi)所有“理想數(shù)”的和是

2026

．（注：必要時可利用公式logaM=

logbM

logba

）

Answer 1

分析：根據(jù)換底公式：logaM=

logbM

logba

，把a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）代入a₁a₂…a_k并且化簡轉(zhuǎn)化為

lg(k+2)

lg2

為整數(shù)m，即k+2=2^m，
m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得區(qū)間[1，2009]內(nèi)的所有“理想數(shù)“的和．

解答：解：根據(jù)換底公式：logaN=

logbN

logba

，把a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）代入a₁a₂…a_k有
 a1a2…ak=

lg(k+2)

lg2

=m，m∈N*，
∴k+2=2^m，m∈N*．
k分別可取2²-2，2³-2，2⁴-2…，最大值2^m-2≤2009，m最大可取10，
故和為（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=2026．
故答案為：2026．

點評：考查數(shù)列的綜合應(yīng)用及對數(shù)的換底公式，把a₁a₂…a_k化簡轉(zhuǎn)化為對數(shù)的運算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．