Question

已知在平面直角坐標系xOy中，圓M的方程為（x-4）²+y²=1．以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，且與直角坐標系取相同的單位長度，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+

π

6

）=

1

2

．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程和圓M的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求圓M上的點到直線l的距離的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：計算題,直線與圓,坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）求直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，再把圓M的直角坐標方程利用同角三角函數(shù)的基本關系化為參數(shù)方程．
（Ⅱ）設M（4+cosα，sinα），求得點M到直線l的距離，再根據正弦函數(shù)的值域求得它的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由ρsin（θ+

π

6

）=

1

2

，得ρ（sinθcos

π

6

+cosθsin

π

6

）=

1

2

，
∴

1

2

x+

3

2

y=

1

2

，即x+

3

y=1．
∵圓M的方程為（x-4）²+y²=1，設

x-4=cosα y=sinα

，∴

x=4+cosα y=sinα

．
所以直線l的直角坐標方程為x+

3

y=1，
圓M的參數(shù)方程：

x=4+cosα y=sinα

（α為參數(shù)）；
（Ⅱ）設M（4+cosα，sinα），
則點M到直線l的距離為d=

|4+cosα+ 3 sinα-1|

1+3

=

3+2sin(α+ π 6 )

2

，
∴當sin（α+

π

6

）=-1，即α=-

2π

3

+2kπ（k∈Z）時，d_min=

1

2

．
圓M上的點到直線l的距離的最小值為

1

2

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．