Question

已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

．
（1）求∠C的大��；
（2）若|

CA

-

1

2

CB

|=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（1）利用二倍角公式對(duì)原等式化簡可求得cosC的值，進(jìn)而求得C．
（2）對(duì)原等式平方，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式求得關(guān)于a和b的關(guān)系式，進(jìn)而利用基本不等式求得ab的范圍，進(jìn)而求得三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）∵4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

，
∴cosC=

1

2

，
由C為三角形的內(nèi)角，則C=

π

3

．
（2）∵|

CA

-

1

2

CB

|=2，
∴（|

CA

-

1

2

CB

|）²=4，
即

CA

²+

1

4

AB

²-

CA

•

CB

=4，
即b²+

1

4

a²-

1

2

ab=4，
∵b²+

1

4

a²≥ab，
∴4+

1

2

ab≥ab，
ab≤8，當(dāng)且僅當(dāng)b=

1

2

a時(shí)等號(hào)成立．
則△ABC的面積S=

1

2

absinC≤2

3

．
則三角形ABC的面積的最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算的應(yīng)用．考查了學(xué)生計(jì)算能力和變通能力．