Question

9．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是AB中點，M是AA₁上一點，且AM=tAA₁．
（1）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（2）若3AB=2AA₁，當t為何值時，B₁M⊥平面A₁CD？

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中點E，連接BE，C₁E．只需證明，面EBC₁∥平面A₁CD；即可得到BC₁∥平面A₁CD．
（2）易得CD⊥B₁M，要使B₁M⊥平面A₁CD，只需DA₁⊥MB即可，如下圖，當DA₁⊥MB時，△ADA₁∽△A₁MB₁，⇒$\frac{AD}{{A}_{1}M}=\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}{B}_{1}}$，即可求得t．

解答 解：（1）如圖1，取A₁B₁的中點E，連接BE，C₁E．
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是AB中點，可得CD∥C₁E
又因為DB∥EA₁，DB=EA₁⇒BE∥DA₁．
且CD∩DA₁=D，BE∩C₁E=E，面EBC₁∥平面A₁CD；
∵BC₁?面EBC₁，BC₁?平面A₁CD，∴BC₁∥平面A₁CD

（2）由在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是AB中點，可得CD⊥面AA₁B₁B．
⇒CD⊥B₁M，
∴要使B₁M⊥平面A₁CD，只需DA₁⊥MB即可，如下圖，
當DA₁⊥MB時，△ADA₁∽△A₁MB₁，
⇒$\frac{AD}{{A}_{1}M}=\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}{B}_{1}}$，又∵3AB=2AA₁，DAB為中點
∴$\frac{\frac{1}{2}AB}{{A}_{1}M}=\frac{A{A}_{1}}{AB}=\frac{3}{2}$⇒${A}_{1}M=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}A{A}_{1}=\frac{2}{9}A{A}_{1}$
∴$AM=\frac{7}{9}A{A}_{1}$
即當t=$\frac{7}{9}$時，B₁M⊥平面A₁CD．

點評 本題考查了空間線面平行的判定，線面垂直的判定，屬于中檔題．